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ARC108 C - Keep Graph Connected(diff: 1460)

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木の構築系の問題、超絶苦手すぎる。

問題: C - Keep Graph Connected

考えたこと

ある一点だけ決めれば他の点は全部決められるよね!

解法

まず、どこでもいいから一点だけ根を決めて全域木になる様に使用する辺を選んだ場合の根付き木を考える。

根付き木には以下の特徴がある。

  • 根以外のノードはただ一つの親ノードと0個以上の子ノードを持つ

この時、根に好きな値を書き込めば、他のノードは値を決定できる。さらに、ノードの親はただ一つなので、良い書き方が必ず達成できる。

これによりえられた辺のラベルがどうでもよく、グラフが連結であれば必ず良い書き方があることがわかる。(解説には与えられたグラフが木構造ならって書いてあるけど閉路持ってても利用する辺の選び方から閉路持たない様にすれば木構造になるから多分、連結でいいはず・・・)(間違ってたらこっそり教えてください)

よって、与えられたグラフから木が構成できる様な辺の選び方があるなら必ず良い書き方は存在すると言える。

次に実際に点と辺の集合から全域木を作成するに当たって、これはクラスカル法っぽく書ける。

辺u,vの集合に対してfor文で回して、u,vがすでに連結していたらスキップ、してなかったらその辺を使うのとUFでマージでいける。

全域木を作ったら適当に根を決めてそこからbfsで各頂点に書き込めば解ける。

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#include <bits/stdc++.h>
#include <atcoder/all>
#define INF 1e9
using namespace std;

#define REPR(i,n) for(int i=(n); i >= 0; --i)
#define FOR(i, m, n) for(int i = (m); i < (n); ++i)
#define REP(i, n) for(int i=0, i##_len=(n); i<i##_len; ++i)
#define ALL(a)  (a).begin(),(a).end()
#define endl "\n"

template<class T>bool chmin(T &a, const T &b) { if (b<a) { a=b; return true; } return false; }
template<class T>bool chmax(T &a, const T &b) { if (a<b) { a=b; return true; } return false; }
typedef long long ll;

struct Edge {
    int u,v,c;
};
void solve() {
    int N,M; cin >> N >> M;
    auto kruskal = [&]()->vector<set<pair<int,int>>> {
        // 辺集合
        vector<Edge> edges(M);
        REP(i,M) {
            int v1,v2,c; cin >> v1 >> v2 >> c;
            v1--; v2--;
            edges[i] = Edge{v1,v2,c};
        }

        atcoder::dsu uf(N);
        // key < val とする。
        vector<set<pair<int,int>>> g(N,set<pair<int,int>>());
        for(const auto &edge: edges) {
            // 木構造になっていたら終わり
            if(uf.size(0) == N) break;
            if(uf.same(edge.u,edge.v)) continue;
            g[edge.u].emplace(edge.v,edge.c);
            g[edge.v].emplace(edge.u,edge.c);
        }
        return g;
    };
    auto tree = kruskal();
    // rootノードを決める
    int root = -1;
    REP(i,N) if(!tree[i].empty()) {
        root = i;
        break;
    }
    assert(root != -1);
    // 良い書き方を作成していく
    auto bfs = [&]() {
        vector<int> vals(N,-1);
        vals[root] = 1;
        // pos, parent val
        queue<int> q;
        q.push(root);
        while(!q.empty()) {
            auto pos = q.front(); q.pop();
            for(const auto &child: tree[pos]) {
                auto [next,next_label] = child;
                if(vals[next] != -1) continue;
                if(next_label != vals[pos])vals[next] = next_label;
                else vals[next] = (next_label%N)+1;
                q.push(next);
            }
        }

        for(const auto &it: vals) cout << it << endl;
    };

    bfs();
}

int main() {
    solve();
    return 0;
}

提出 #18369924 - AtCoder Regular Contest 108

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reud
WRITTEN BY
reud
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